Το βόρειο τμήμα του ποταμού Κούρή, μεταξύ των πηγών του και της Τριμήκληνης, είναι γνωστό τοπικά ως ποταμός του Αμιάντου. Ο ποταμός του Αμιάντου δεν σημειώνεται στους τοπογραφικούς χάρτες του Κτηματολογίου κλίμακας 1:250.000 ή κλίμακας 1:100.000, όμως σημειώνεται στη σειρά Κ717 φύλλο 18, της έκδοσης 1-GSGS του Υπουργείου Αμύνης του Ηνωμένου Βασιλείου, κλίμακας 1:50.000.
Ο ποταμός πηγάζει από τα βόρεια της Κυπερούντας, κοντά στη Μούττη των Σπηλιών (1.372 μ.), από το Πασά Λειβάδι (1.755 μ.) και από τα Λούμματα τους Ατούς (1.688 μ.). Το ρυάκι που πηγάζει από τα Λούμματα τους Ατούς είναι γνωστό ως ρυάκι των Λουμμάτων. Η συμβολή του ρυακιού που κατέρχεται από τον Πάνω Αμίαντο με το ρυάκι των Λουμμάτων βρίσκεται κάπου 600 μ. στα δυτικά του οικισμού του Κάτω Αμιάντου. Ένα άλλο ρυάκι από τη Μούττη του Δία (1.399 μ.) δυτικά της Κυπερούντας, τροφοδοτεί τον ποταμό του Αμιάντου με επιπρόσθετες ποσότητες νερού, η δε συμβολή είναι ένα περίπου χμ. στα νότια του Κάτω Αμιάντου. Στα βόρεια του Σαϊττά, το ρυάκι της Αρκολαχανιάς, που στο νότιό του τμήμα ονομάζεται ρυάκι του Μεσαποταμού, ενώνεται με τον Αμίαντο.
Το βόρειο τμήμα του ποταμού του Αμιάντου δέχεται μια μέση ετήσια βροχόπτωση που κυμαίνεται μεταξύ 850 και 1.060 χιλιοστομέτρων, ενώ ακριβώς στα βόρεια της Τριμήκληνης η μέση ετήσια βροχόπτωση κυμαίνεται γύρω στα 700 χιλιοστόμετρα.
Ο ποταμός στο άνω μέρος του κυλά πάνω από γάββρους και σερπεντίνες και στο υπόλοιπο πάνω σε διαβάσες και λάβες. Ολόκληρη η κοιλάδα του Αμιάντου είναι πολύ ενδιαφέρουσα από γεωμορφολογική άποψη. Στο βόρειο τμήμα της, ιδιαίτερα στην περιοχή Πασά Λειβάδι και Λούμματα τους Ατούς, συναντώνται τα χαρακτηριστικά μιας «ώριμης» κοιλάδας (η φράση «ώριμος» χρησιμοποιείται έχοντας υπόψη τον κύκλο της διάβρωσης).
Μεταξύ Κάτω Αμιάντου και Φυλάγρων παρατηρούνται εκβάθυνση της κοίτης του ποταμού, στενά φαράγγια σε μερικές περιπτώσεις και ποτάμιες αναβαθμίδες. Βέβαια το κλασσικό παράδειγμα του φαραγγιού, με τους μαιάνδρους και τις κλασσικές αναβαθμίδες θα το συναντήσει ένας πολύ πιο νότια, στον ίδιο ποταμό, κοντά στην Άλασσα. Όλα αυτά είναι χαρακτηριστικά της ανανέωσης της τοπογραφίας και των ποταμών της περιοχής. Το παρατηρητικό μάτι δεν μπορεί να μην προσέξει όλα αυτά τα γνωρίσματα ενός ανανεωμένου κύκλου διάβρωσης στην περιοχή. Η ανανέωση δεν θα συνέβαινε χωρίς την ανύψωση της ξηράς. Σύμφωνα με τον R. Wilson η ανύψωση έγινε τουλάχιστον δυο φορές κατά την Πλειστόκαινη περίοδο (βλέπε: R.A.M. Wilson- F.T. Ingham, The Geology of the Xeros-Troodos Area, with an account of the Mineral Resources, Geological Survey Dept., Memoir No 1, σ. 25).