Νομικός που διετέλεσε γενικός εισαγγελέας της Κυπριακής Δημοκρατίας. Γεννήθηκε στη Λευκωσία στις 23 Ιανουαρίου 1943 και πέθανε στις 23 Απριλίου 2020. Αποφοίτησε από το Παγκύπριο Γυμνάσιο και σπούδασε νομικά στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και αργότερα συνέχισε τις σπουδές του στο Λονδίνο, από όπου πήρε τον τίτλο του Barrister-at-Law από το Middle Temple.
Από το 1971 άρχισε να ασκεί το δικηγορικό επάγγελμα στη Λευκωσία. Είναι ιδρυτικό μέλος του Δημοκρατικού Συναγερμού (ΔΗΣΥ), του οποίου διετέλεσε βοηθός γενικός γραμματέας (1977-79), γενικός γραμματέας (1980-93) και αναπληρωτής πρόεδρος (1993-95).
Στις βουλευτικές εκλογές του Δεκεμβρίου 1985 εξελέγη βουλευτής του ΔΗΣΥ στην εκλογική περιφέρεια Λευκωσίας. Στο αξίωμα αυτό επανεξελέγη τον Μάιο του 1991. Διετέλεσε πρόεδρος της κοινοβουλευτικής Επιτροπής Υγείας, αναπληρωτής πρόεδρος της Επιτροπής Οικονομικών και Προϋπολογισμού και μέλος της Επιτροπής Εμπορίου και Βιομηχανίας. Υπήρξε επίσης μέλος της εκτελεστικής επιτροπής του Κοινοπολιτειακού Κοινοβουλευτικού Συνδέσμου (1991-92).
Την 1η Φεβρουαρίου 1995 διορίστηκε από τον πρόεδρο της Δημοκρατίας Γλαύκο Κληρίδη ως νέος γενικός εισαγγελέας της Δημοκρατίας, σε διαδοχή του Μιχαλάκη Τριανταφυλλίδη, αφού παραιτήθηκε από τη βουλευτική του έδρα.
Υπό την ιδιότητά του ως γενικός εισαγγελέας, ο Αλέκος Μαρκίδης πήρε μέρος, μαζί με τη Στέλλα Σουλιώτη, σύμβουλο της ελληνικής κυπριακής πλευράς στις διακοινοτικές συνομιλίες, σε μυστικές διαβουλεύσεις για το Κυπριακό στο Λονδίνο τον Μάιο του 1995, με πρωτοβουλία της αμερικανικής κυβέρνησης. Οι διαβουλεύσεις διεξήχθησαν με τη συμμετοχή του Αμερικανού προεδρικού απεσταλμένου για το Κυπριακό Ρίτσαρντ Μπίτι, του συντονιστή για το Κυπριακό στο αμερικανικό υπουργείο Εξωτερικών Τζιμ Ουίλλιαμς και εκπροσώπων της αμερικανικής πρεσβείας και της βρετανικής υπάτης αρμοστείας στη Λευκωσία. Την τουρκοκυπριακή πλευρά εκπροσώπησε ο λεγόμενος «γενικός εισαγγελέας» του ψευδοκράτους. Οι συνομιλίες αυτές απέβησαν άκαρπες.
Ο Αλέκος Μαρκίδης, υπό την ιδιότητα του συμβούλου και στενού συνεργάτη του προέδρου Γλαύκου Κληρίδη είχε συνεχή και ουσιαστική συμμετοχή στις διεργασίες επίλυσης του Κυπριακού και στις συνομιλίες και επαφές που οδήγησαν στη διαμόρφωση του Σχεδίου Ανάν πριν από την τελική του μορφή (Ανάν -5). Κατά τις προεδρικές εκλογές του Φεβρουαρίου 2003, κατά τις οποίες ο πρόεδρος Κληρίδης ζήτησε ανανέωση της λαϊκής εντολής έστω και με μη πλήρη θητεία, ενόψει της υποβολής του Σχεδίου Ανάν, ο Αλέκος Μαρκίδης διαχώρισε τη θέση του και κατήλθε ο ίδιος ως ανεξάρτητος υποψήφιος. Εξασφάλισε ποσοστό ψήφων 6,62%. Ως πρόεδρος της Δημοκρατίας εξελέγη ο Τάσσος Παπαδόπουλος που τελικά τάχθηκε κατά της αποδοχής του τελικού Σχεδίου Ανάν. Ο Αλέκος Μαρκίδης αποσύρθηκε και από το αξίωμα του γενικού εισαγγελέα της Δημοκρατίας.
Εκτοτε ο Αλέκος Μαρκίδης ασχολήθηκε με τη μάχιμη δικηγορία δίνοντας πάντοτε έμφαση στην ανάγκη λύσης του Κυπριακού την οποία θεωρούσε αναγκαία για την επιβίωση ολόκληρης της Κύπρου ως ανεξάρτητου κράτους.
Στις 4 Σεπτεμβρίου 2019 μαζί με άλλους πολιτικούς από διάφορα κόμματα και ιδεολογίες υπήρξε συνιδρυτής της πλατφόρμας Απόφαση Ειρήνης, με στόχο την ενημέρωση Ελληνοκυπρίων και Τουρκοκυπρίων για την ανάγκη επανένωσης της Κύπρου μέσω μιας λύσης Ομοσπονδίας.
Ο Αλέκος Μαρκίδης στα χρόνια της πολιτικής του σταδιοδρομίας διακρίθηκε για το ήθος του αλλά κυρίως για την τεκμηρίωση με την οποία υποστήριζε τις απόψεις του.