Ηθοποιός και σκηνοθέτης. Γεννήθηκε στην Αμμόχωστο το 1952. Μετά την αποφοίτησή του από το γυμνάσιο της γενέτειράς του, πήγε στην Αθήνα όπου για τρία χρόνια φοίτησε στη Φιλοσοφική Σχολή του εκεί Πανεπιστημίου. Φοίτησε επίσης στη Δραματική Σχολή του Θεάτρου Τέχνης Καρόλου Κουν, απ' όπου κι αποφοίτησε.
Σαν ηθοποιός εργάστηκε από το 1976 στο Θέατρο Τέχνης Καρόλου Κουν, μέχρι το 1981. Στη συνέχεια επέστρεψε στην Κύπρο και από το 1981 άρχισε να συνεργάζεται με τον θίασο του Θεατρικού Οργανισμού Κύπρου. Στον ΘΟΚ ερμήνευσε πολλούς ρόλους, από αρχαία τραγωδία μέχρι νεοελληνική κωμωδία και κλασσικά και άλλα έργα του διεθνούς ρεπερτορίου. Πήρε μέρος σε περιοδείες και εμφανίσεις του ΘΟΚ στην Επίδαυρο κ.ά.
Στο πλαίσιο των Βραβείων Θεάτρου για την περίοδο 2005 – 2007, που απένειμε ο Θεατρικός Οργανισμός Κύπρου σε καλλιτέχνες από τον επαγγελματικό χώρο του θεάτρου, στον Βαρνάβα Κυριαζή απονεμήθηκε το Βραβείο Καλύτερου Ανδρικού Ρόλου για την ερμηνεία του στο ρόλο του Ποπρίστιν στο έργο του Νικολάι Γκόγκολ «Το ημερολόγιο ενός τρελού».
Ο Βαρνάβας Κυριαζής συνεργάστηκε επίσης με το ραδιόφωνο και την τηλεόραση της Κύπρου, ενώ διετέλεσε και καλλιτεχνικός διευθυντής του «Θεάτρου Σκάλα».
Το 2007 διορίστηκε διευθυντής του Θεατρικού Οργανισμού Κύπρου.
Το 2009 ο Β. Κυριαζής εμφανίστηκε στην Επίδαυρο, ως σκηνοθέτης, στις «Νεφέλες» του Αριστοφάνη.