Σύμφωνα προς τον Ησύχιο, ένα από τα λατρευτικά επίθετα του Διός στην Κύπρο ήταν το επίθετο Ἐλαιοῦς. Ο ίδιος συγγραφέας διασώζει και την πληροφορία ότι με την επωνυμία αυτή υφίστατο στην Κύπρο και ιερό του Διός.
Δεν είναι γνωστό πού ακριβώς υφίστατο το αρχαίο αυτό ιερό του «πατέρα θεών και ανθρώπων» στην Κύπρο.
Ο Κ. Χατζηιωάννου (ΑΚΕΠ, Γ β, 1977, αρ. 97) αναφέρει ότι πιθανώς το ιερό του Διός βρισκόταν στην περιοχή του ακρωτηρίου Ελαίας, από το οποίο ίσως πήρε και την ονομασία του. Ωστόσο ο Στέφανος Βυζάντιος αναφέρει ότι και στην Πελοπόννησο υφίστατο αρχαία -πόλη με την ονομασία Ἐλαιοῦς.
Υπάρχει και μια θεωρία ότι από την ονομασία Ἐλεοῦς του ιερού του Διός στην Κύπρο (ή ακόμη και κάποιας κώμης), ο θεός θα πρέπει να έφερε το επίθετο Ἐλαιούσιος.
Το επίθετο, εν πάση περιπτώσει, είναι αποδεκτό ότι προέρχεται από το δέντρο της ελαίας - ελιάς.