Φιλόσοφος, σύγχρονος του Μεγάλου Αλεξάνδρου τον οποίο και ακολούθησε στην εκστρατεία του στην Ασία. Μερικοί λανθασμένα θεωρούν ότι καταγόταν από τη Σαλαμίνα της Κύπρου, αν και το επίθετό του φανερώνει πως καταγόταν από τα Άβδηρα (Μακεδονία). Βέβαιο ωστόσο είναι ότι στη Σαλαμίνα βρήκε οικτρό θάνατο από βασανιστήρια, τιμωρημένος από τον βασιλιά Νικοκρέοντα επειδή τον είχε χλευάσει.
Ο Ανάξαρχος πρέσβευε πως δεν υπήρχε κριτήριο της αλήθειας και πως τα όντα του κόσμου δεν ήσαν παρά ψεύτικες κι ονειρικές παραστάσεις που έχουν οι άνθρωποι στις ψυχές των. Ακολούθησε τη διδασκαλία του Δημόκριτου, ασπάστηκε το δόγμα ότι η «ευτυχία είναι το αγαθόν» και έταξε σαν σκοπό του «την ευδαιμονία, την απάθεια και τη γλυκειά περιπέτεια». Γι’ αυτό κατηγορήθηκε ως ευδαιμονικός. Έγραψε ένα σύγγραμμα Περί βασιλείας από το οποίο σώθηκε μόνο απόσπασμα. Ασχολήθηκε και με την ερμηνεία των ομηρικών ποιημάτων.
Ο Κλέαρχος ο Σολεύς στο 5ο βιβλίο των Βίων του αναφέρει (όπως διασώζει ο Αθήναιος [Δειπνοσοφισταί, 12.548 b,c]) πως ο Ανάξαρχος ήταν ακόλαστος: Έπεσαν σ' αυτόν άφθονα τα μέσα της ζωής, γράφει, και κερνούσε κρασί ένα γυμνό κορίτσι ως δεκάξι χρονών, που το είχε διαλέξει να ξεχωρίζει από τα άλλα σε ομορφιά και που με τη γύμνια του αποκάλυπτε την ακολασία εκείνων που το μεταχειρίζονταν μ' αυτό τον τρόπο... Αναφέρει ακόμη ο Κλέαρχος, και διασώζει ο Αθήναιος, πως ο Ανάξαρχος φρόντιζε ώστε κι ο ψωμάς του να ζυμώνει φορώντας γάντια κι έχοντας ένα πανί στο πρόσωπο, έτσι που ούτε ο ιδρώτας του να τρέχει, ούτε κι ο ίδιος ο ψωμάς να ξεφυσά την ανάσα του στο ζυμάρι.
Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου ο Ανάξαρχος ξεκίνησε για την επιστροφή στην Ελλάδα, όμως το καράβι του εξώκειλε στην Κύπρο. Εδώ ήλθε σε σύγκρουση με τον βασιλιά Νικοκρέοντα. Ο τελευταίος, σύμφωνα προς τον Πλούταρχο (Ηθικά, 449Ε), εκτέλεσε τον φιλόσοφο με άγριο και βασανιστικό τρόπο: τον κοπάνισε με σιδερένιους λοστούς σ' ένα μεγάλο γουδί καί τον κατακρεούργησε. (... Ὁ μέν γάρ ὑπέροις σιδήροις κατέπτισε καἰ κατέκοψεν ἐκεῖνον...). Σύμφωνα προς τις πηγές, ο Ανάξαρχος υπέστη το μαρτύριο και τα βασανιστήρια που τον οδήγησαν στο θάνατο με ηρωισμό και καρτερικότητα.